No tiene mucho que ver con Alicia ni con un cuento infantil. Más bien trata de arquitectura y matemáticas. Durante siglos la humanidad concentró esfuerzos en lograr construcciones más grandes y más imponentes, ya fuera con fines de protección o con el objetivo de hacer la iglesia más alta y más gótica. Se buscó la manera de construir edificios cada vez más altos, más resistentes y a un menor costo, es decir, menos material. Se intentaron muchas formas, pero no se podía encontrar la mejor.

Una curva que revolucionó la arquitectura es el arco catenario, que es una figura frecuentemente utilizada en el diseño de estructuras por sus múltiples propiedades: minimiza las fuerzas de tensión y con ello se logra una altura considerable, además su construcción genera arcos espaciosos y resistentes.

En el nombre de la curva se hace referencia a la posición que toma una cadena suspendida en los extremos. Matemáticamente, la curva es un coseno hiperbólico.

Arco Catenario, frecuentemente utilizado en la construcción de edificios y rascacielos.

Durante mucho tiempo se creyó que la curva con esas propiedades era la parábola y muchos científicos hacían cálculos y estimaciones al respecto. El hecho de que la expansión en series de la catenaria no tiene término cúbico hace que los errores de estimación sean tan pequeños, que se los atribuían a medición y precisión, más que a la forma de la curva. Su diseño formal fue obtenido hasta 1,691 por alguno de los Bernoulli, Huygens y Leibniz.

¿Y EL ESPEJO?

Pues en realidad, esa es la parte interesante. Que la catenaria minimiza las tensiones, y por lo tanto ofrece, con poco material, la estructura necesaria para construir un rascacielos, es casi cultura popular.

La Sagrada Familia, obra maestra de Antonio Gaudí en Barcelona, diseñada con grandes catenarios tanto en su fachada como en el interior.

Lo que realmente me llamó la atención es la técnica que utilizó Gaudí para lograr una catenaria, y es ahí donde entra el espejo. Muchos diseños de Gaudí utilizan arcos catenarios, supongo que en parte motivado a compensar el alto costo de tantos adornos que caracterizan su estilo.

Modelo final de la Sagrada Familia, que se espera esté listo entre 2050 y 2100

Trazar una curva y garantizar que ésta sea un arco catenario requiere de ciertos cálculos, que para 1,920 tal vez eran muy complejos. Lo que Gaudí realizó – y en realidad no estoy seguro de que fuera el primero, y tal vez sea una técnica usual entre los arquitectos – fue un diseño en espejo.

Muchos proyectos de Gaudí partían de una tabla elevada y colgaba en ella una serie de cadenas para simular las columnas y los arcos que contemplaría su boceto.

Diseño mediante cadenas invertidas de un conjunto de arcos catenarios para lograr el equilibrio perfecto entre altura y anchura.

Dado que es posible asegurar que al suspender una cadena de dos puntos, la curva que se forma es aproximadamente una curva catenaria, la técnica de Gaudí consiste en diseñar su edificio de cabeza, utilizando cadenas formando arcos catenarios.

Diseño a través de un espejo en el piso de un arco catenario, tomando como base una cuerda catenaria.

Al suspender un conjunto de cadenas de cabeza, iba diseñando las distintas cúpulas y arcos de sus edificios. A partir de ese conjunto de cadenas, que forman una perfecta catenaria, al voltear el diseño -verlo a través del espejo- los arcos logrados también son catenarios, y así el diseño es también perfecto.

Un diseño más complejo realizado por Antonio Gaudí, de cabeza.